2 平均値とはやじろべえの視点である

　本講では以下のデータフレームを利用しています。

身長データ

第1講での身長データ

x %>% 
  df_print()

ABCDEFGHIJ0123456789

height <dbl>
151
154
160
160
163
156
158
156
154
160

Next

123456

...

8

Previous

1-10 of 80 rows

度数分布表

第1講での度数分布表

df %>% 
  df_print()

ABCDEFGHIJ0123456789

class <fct>	n <int>	l <dbl>	h <dbl>	mids <dbl>	range <dbl>	cumsum_n <int>	prop <dbl>	cumsum_prop <dbl>
(140,145]	1	140	145	143	5	1	0.0125	0.0125
(145,150]	6	145	150	148	5	7	0.0750	0.0875
(150,155]	19	150	155	153	5	26	0.2375	0.3250
(155,160]	30	155	160	158	5	56	0.3750	0.7000
(160,165]	18	160	165	163	5	74	0.2250	0.9250
(165,170]	6	165	170	168	5	80	0.0750	1.0000

6 rows

　

2.1 統計量は、データを要約する数値

　本講で扱っている統計量（要約統計量）は平均のみです。

　

2.2 平均値とは

　本講の平均値とは算術平均を意味しています。身長データ（$x$）の平均値は157.575です。

　

2.3 度数分布表での平均値

第1講での度数分布表

df %>% 
  dplyr::select(`階級` = class, `度数` = n, `階級値` = mids,
                `階級幅` = range, `累積度数` = cumsum_n,
                `相対度数` = prop, `累積相対度数` = cumsum_prop) %>% 
  df_print()

ABCDEFGHIJ0123456789

階級 <fct>	度数 <int>	階級値 <dbl>	階級幅 <dbl>	累積度数 <int>	相対度数 <dbl>	累積相対度数 <dbl>
(140,145]	1	143	5	1	0.0125	0.0125
(145,150]	6	148	5	7	0.0750	0.0875
(150,155]	19	153	5	26	0.2375	0.3250
(155,160]	30	158	5	56	0.3750	0.7000
(160,165]	18	163	5	74	0.2250	0.9250
(165,170]	6	168	5	80	0.0750	1.0000

6 rows

　
　（算術）平均は全ての観測値の総和を総データ数で除したものですので、観測値を各階級の代表値である階級値で近似すると下式が成り立つことが分かります。

$$\text{平均}=\frac{\sum {\text{観測値}}_i}{\mathrm{総}\mathrm{デ}\mathrm{ー}\mathrm{タ}\mathrm{数}}=\frac{\sum {\text{観測値}}_i}{\sum {\mathrm{度}\mathrm{数}}_i}$$

$$\fallingdotseq \frac{\sum ({\text{階級値}}_i\times {\text{度数}}_i)}{\sum {\mathrm{度}\mathrm{数}}_i}=\sum ({\text{階級値}}_i\times {\text{相対度数}}_i)$$

　なぜなら $$\frac{{\text{度数}}_i}{\sum {\text{度数}}_i}={\text{相対度数}}_i$$

$$i=1,2,...,n$$

P26 図表2−1 階級数×相対度数

df %>% 
  dplyr::select(A = mids, B = prop) %>% 
  dplyr::mutate(`A x B` = A * B) %>% 
  dplyr::rename(`A 階級値` = A, `B 相対度数` = B,
                `A x B` = `A x B`) %>% 
  df_print()

ABCDEFGHIJ0123456789

A 階級値 <dbl>	B 相対度数 <dbl>	A x B <dbl>
143	0.0125	1.7875
148	0.0750	11.1000
153	0.2375	36.3375
158	0.3750	59.2500
163	0.2250	36.6750
168	0.0750	12.6000

6 rows

P26 図表2−1 平均値

df %>% 
  dplyr::select(A = mids, B = prop) %>% 
  dplyr::mutate(`A x B` = A * B) %>% 
  dplyr::summarise(`平均値` = sum(`A x B`)) %>% 
 df_print()

ABCDEFGHIJ0123456789

平均値 <dbl>
157.75

1 row

　
　実データで求めた平均値は157.575ですので、階級値から求めた平均値との差は-0.175となり、度数分布表を作ることは平均値に大きな影響を与えていないことが分かります。

　

2.4 平均値のヒストグラムの中での役割

　階級値から求めた平均値をヒストグラム上にプロットすると下図のようになります。

ヒストグラムにおける平均値

with(x, hist(height))
abline(v = 157.75, lty = 2)

　

2.5 平均値をどう捉えるべきか

　平均値の捉え方は様々考えられますが、テキストでは下記のようにまとめています。

• 全データ（値）を代表する値（点）
• データは平均値の周辺に分布する
• 数多く現れるデータは平均値への影響が大きい
• データの分布が対象の場合、平均値は対象軸

　

2.6 練習問題

2.6.1 解答例

相対度数と階級値×相対度数を求める

data.frame(mids = c(30, 50, 70, 90, 110, 130),
           n = c(5, 10, 15, 40, 20, 10)) %>% 
  dplyr::mutate(prop = prop.table(n), cm = mids * prop) %>% 
  dplyr::rename(`階級値` = mids, `度数` = n, `相対度数` = prop,
                `階級値×相対度数` = cm) %>% 
  df_print()

ABCDEFGHIJ0123456789

階級値 <dbl>	度数 <dbl>	相対度数 <dbl>	階級値×相対度数 <dbl>
30	5	0.05	1.5
50	10	0.10	5.0
70	15	0.15	10.5
90	40	0.40	36.0
110	20	0.20	22.0
130	10	0.10	13.0

6 rows

平均値（階級数×相対度数の和）を求める

data.frame(mids = c(30, 50, 70, 90, 110, 130),
           n = c(5, 10, 15, 40, 20, 10)) %>% 
  dplyr::mutate(prop = prop.table(n), cm = mids * prop) %>% 
  dplyr::summarise(`平均値` = sum(cm)) %>% 
  df_print()

ABCDEFGHIJ0123456789

平均値 <dbl>
88

1 row

　

【コラム】平均値のとり方は、１つではない

算術平均（Arithmetic Mean）

$$\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}$$

計算式通りの求め方

sum(c(10, 90)) / length(c(10, 90))

[1] 50

標準で組み込まれている関数

mean(c(10, 90))

[1] 50

　

幾何平均（Geometric Mean）または相乗平均

$$\sqrt{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

幾何平均はフローしやすいので専用関数で

psych::geometric.mean(c(10, 90))

[1] 30

　

二乗平均（Root Mean Square）

$$\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}{n}}$$

計算式通りの求め方

sqrt(mean(c(10, 90) ^ 2))

[1] 64.03124

　
　seewaveパッケージで二乗平均が関数として定義されていますが、コードの中身は上記のsqrt(mean(x ^ 2))と同一です。

フロー対策などは施されていません

seewave::rms(c(10, 90))

[1] 64.03124

　

調和平均（Harmonic Mean）

$$\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

パッケージで提供されています

psych::harmonic.mean(c(10, 90))

[1] 18

　

トリム平均

　トリム平均は体操競技の評点などで使われる平均値の計算方法で、値を小さい方から順に並べ、上位側と下位側から一定の割合で値を除き算術平均を求めます。外れ値や異常値などを影響を排除するために使われることが多いです。

知っておくと便利なトリム平均

mean(c(0, 1:8, 30))

[1] 6.6

知っておくと便利なトリム平均

mean(c(0, 1:8, 30), trim = 0.25)  # データの両側2.5%を対象外とする

[1] 4.5

　

追加問題

　身長のデータを用いて階級幅が変わると度数分布表から求める平均値がどのように変化するか確認してみましょう。

階級幅が倍になった場合

階級幅が倍になった場合の平均値の差

x %>% 
  dplyr::mutate(class = cut(height,
                            breaks = c(140, 150, 160, 170),
                            include.lowest = FALSE, right = TRUE)) %>% 
  dplyr::count(class) %>% 
  dplyr::mutate(class_value = as.character(class)) %>% 
  tidyr::separate(class_value, into = c("l", "h"), sep = ",") %>% 
  dplyr::mutate(l = as.numeric(stringr::str_remove(l, "[[:punct:]]")),
                h = as.numeric(stringr::str_remove(h, "[[:punct:]]"))) %>% 
  dplyr::mutate(mids = ((l + 1) + h) / 2) %>% 
  dplyr::mutate(range = h - l, cumsum_n = cumsum(n),
                prop = prop.table(n), cumsum_prop = cumsum(prop)) %>% 
  dplyr::select(A = mids, B = prop) %>% 
  dplyr::mutate(`A x B` = A * B) %>% 
  dplyr::summarise(`階級値による平均値` = sum(`A x B`)) %>% 
  dplyr::mutate(`算術平均` = mean(x$height),
                `差` = `算術平均` - `階級値による平均値`) %>% 
  df_print()

ABCDEFGHIJ0123456789

階級値による平均値 <dbl>	算術平均 <dbl>	差 <dbl>
157.625	157.575	-0.05

1 row

階級幅が半分になった場合

階級幅が半分になった場合の平均値の差

x %>% 
  dplyr::mutate(class = cut(height,
                            breaks = seq(from = 140, to = 170, by = 2.5),
                            include.lowest = FALSE, right = TRUE)) %>% 
  dplyr::count(class) %>% 
  dplyr::mutate(class_value = as.character(class)) %>% 
  tidyr::separate(class_value, into = c("l", "h"), sep = ",") %>% 
  dplyr::mutate(l = as.numeric(stringr::str_remove(l, "[[:punct:]]")),
                h = as.numeric(stringr::str_remove(h, "[[:punct:]]"))) %>% 
  dplyr::mutate(mids = ((l + 1) + h) / 2) %>% 
  dplyr::mutate(range = h - l, cumsum_n = cumsum(n),
                prop = prop.table(n), cumsum_prop = cumsum(prop)) %>% 
  dplyr::select(A = mids, B = prop) %>% 
  dplyr::mutate(`A x B` = A * B) %>% 
  dplyr::summarise(`階級値による平均値` = sum(`A x B`)) %>% 
  dplyr::mutate(`算術平均` = mean(x$height),
                `差` = `算術平均` - `階級値による平均値`) %>% 
  df_print()

ABCDEFGHIJ0123456789

階級値による平均値 <dbl>	算術平均 <dbl>	差 <dbl>
157.8562	157.575	-0.28125

1 row

　

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